Τα πέντε επίπεδα του Van Hiele

Υπάρχουν πέντε επίπεδα, τα οποία είναι διαδοχικά και ιεραρχικά. Αυτά είναι:

Επίπεδο 1 (απεικόνιση):

Οι σπουδαστές αναγνωρίζουν τα σχήματα από την εμφάνιση μόνο, συχνά με τη σύγκριση τους με ένα γνωστό πρωτότυπο. Οι ιδιότητες ενός σχήματος δεν γίνονται αντιληπτές. Σε αυτό το επίπεδο, οι σπουδαστές παίρνουν αποφάσεις βασισμένες στην αντίληψη, όχι στη λογική.

Επίπεδο 2 (ανάλυση):

 Οι σπουδαστές βλέπουν τα σχήματα σαν συλλογές των ιδιοτήτων τους. Μπορούν να αναγνωρίσουν και να ονομάσουν τις ιδιότητες γεωμετρικού σχήματος, αλλά δεν βλέπουν τις σχέσεις μεταξύ αυτών των ιδιοτήτων. Κατά την περιγραφή ενός αντικειμένου, ένας σπουδαστής που λειτουργεί σε αυτό το επίπεδο μπορεί να απαριθμήσει όλες τις ιδιότητες που ξέρει, αλλά να μην διακρίνουν ποιες ιδιότητες είναι απαραίτητες και ποιες είναι επαρκείς για να περιγράψουν το αντικείμενο.

Επίπεδο 3 (Άτυπη Αφαίρεση) ή Διάταξη -Ταξινόμηση (Ordering):

Οι σπουδαστές αντιλαμβάνονται τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων και μεταξύ των σχημάτων. Σε αυτό το επίπεδο, οι σπουδαστές μπορούν να δημιουργήσουν σημαντικούς ορισμούς και να δώσουν τα άτυπα επιχειρήματα για να δικαιολογήσουν το συλλογισμό τους. Οι λογικοί συσχετισμοί και οι συνυπολογισμοί κατηγορίας, όπως τα τετράγωνα που είναι ένας τύπος ορθογωνίου, γίνονται κατανοητά. Ο ρόλος και η σημασία της τυπικής αφαίρεσης, εντούτοις, δεν γίνονται κατανοητά.

Τέταρτο Επίπεδο - Τυπική Αφαίρεση (Formal deduction (Γενίκευση -Επαγωγή)):

Οι σπουδαστές μπορούν να κατασκευάσουν τις αποδείξεις, να καταλάβουν το ρόλο των αξιωμάτων και των ορισμών, και ξέρουν την σημασία των απαραίτητων συνθηκών. Σε αυτό το επίπεδο, οι σπουδαστές πρέπει να είναι σε θέση να κατασκευάσουν τις αποδείξεις όπως εκείνες που βρίσκονται σε μια γεωμετρία γυμνασίου.

Πέμπτο Επίπεδο - Αυστηρότητα (Rigour):

Οι σπουδαστές καταλαβαίνουν σε αυτό το επίπεδο τις επίσημες πτυχές της αφαίρεσης, όπως η καθιέρωση και η σύγκριση των μαθηματικών συστημάτων. Οι σπουδαστές μπορούν σε αυτό το επίπεδο να καταλάβουν τη χρήση της έμμεσης απόδειξης και της απόδειξης από αντίθεση, και μπορούν να καταλάβουν τα μη-Ευκλείδεια συστήματα.